住宅ローンの計算をしてみる – 元利均等返済

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「住宅ローンの計算をしてみる」シリーズのパート2です。

この記事では、住宅ローンの返済方法である「元利均等返済」について、計算してみます。
※ 高校数学の数列の知識を使用します。

元利均等返済など、計算前の前提知識についてはこちらをご覧下さい。

住宅ローンの計算をしてみる - 前提知識の確認
ポエム 住宅ローン 夢のマイホームを現実にする魔法 自分にもこの魔法を使う時が来るとは 住宅ローンに関する計算をしてみる 高校の数学で出会ったあいつらと再会する なんだか楽しくなってくる 「数学なんて将来の...

計算を始める前に

まずは必要な値を文字で置いていきます。
こんな感じで置きました。

借入総額 … $X$
毎月の支払い時の残金 … $x$
毎月の支払い額 … $y$
毎月の支払い額の元本返済分 … $z$
毎月の支払い額の利子分 … $w$
毎月の利子(月利) … $α$
支払い回数 … $N$

前提知識の確認 から 毎月の支払い時の残金毎月の支払い額毎月の支払い額の利子分はそれぞれ次のように表せます。

毎月の支払い時の残金 = 先月の支払い時の残金 – 先月の元本返済分

\begin{align}
x_1 &= X \\
x_2 &= x_1 – z_1 \\
&: \\
x_n &= x_{n-1} – z_{n-1} \tag{1}\\
\end{align}

※ 添字はそれぞれ何回目の支払いかを表す(例: $x_n$ は $n$ 回目の支払い時の残金)
毎月の支払い額 = 毎月の支払い額の元本返済分 + 毎月の支払い額の利子分

$$y_n = z_n + w_n\tag{2}\,\,\,\,\,\,$$

毎月の利子 = 毎月の利子(月利) × 毎月の支払い時の残金

$$w_n = α × x_n\tag{3}\,\,\,\,\,\,\,\,$$

元利均等返済の計算をする

元利均等返済は毎月の支払い額が一定となる返済方法でした。
この支払い方法について計算をしてみます。

毎月の支払い時の残金を求める

毎月の支払い時の残金の一般項 $x_n$ を求めてみます。

毎月の支払い額は一定なので、これを定数 $Y$ とすると$(2)$、$(3)$より

\begin{align}
Y&= z_n + w_n\\[8pt]
z_n&= Y – w_n\\[8pt]
&= Y – αx_n\tag{4}
\end{align}

(1)、(4)より

\begin{align}
x_n &= x_{n-1} – {Y – αx_{n-1}}\\[8pt]
&= (1 + α)x_{n-1} – Y
\end{align}

特性方程式を用いて

\begin{align}
x_n – \frac{Y}{α} = (1 + α)(x_{n-1} – \frac{Y}{α})\tag{5}\\
\end{align}

ここで、$x_n – \frac{Y}{α} = a_n$ とおくと

\begin{align}
a_n = (1 + α)a_{n-1}\tag{6}
\end{align}

(6)は、初項 $a_1=X-\frac{Y}{α}$、 公比 $(1+a)$ の等比数列であるので

\begin{align}
a_n &= a_1・(1+α)^{n-1}\\[8pt]
&= (X-\frac{Y}{α})(1+α)^{n-1}\tag{7}
\end{align}

(5)、(7)より

\begin{align}
x_n = (X-\frac{Y}{α})(1+α)^{n-1}+\frac{Y}{α}\\
\end{align}

毎月の支払い時の残金を求めることができました。

利子の総額を計算する

次に利子を求めてみます。
上の計算と同様に毎月の支払い額を定数 $Y$ とすると$(2)$より

\begin{align}
w_n &= Y – z_n\tag{8}
\end{align}

$(1)$、$(8)$より
\begin{align}
w_n &= Y + x_{n+1} – x_n\tag{9}
\end{align}

さらに、$(9)$ と上で求めた毎月の支払い時の残金の一般項 $x_n$ より

\begin{align}
w_n &= Y + (X – \frac{Y}{α})(1 + α)^n + \frac{Y}{α} \\[8pt]
&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, – \left\{(X – \frac{Y}{α})(1 + α)^{n-1} + \frac{Y}{α}\right\}\\[8pt]
&= Y + (X – \frac{Y}{α})\left\{(1 + α)^n – (1 + α)^{n-1}\right\}\\[8pt]
&= Y + (X – \frac{Y}{α})\left\{α(1 + α)^{n-1}\right\}\\[8pt]
&= α(X – \frac{Y}{α})(1 + α)^{n-1} + Y\tag{10}
\end{align}

$(10)$は、$n$ 回目の支払い時の支払い額の利子分でした。
これを初回の支払い分から支払い回数 $N$ まで足し合わせれば、利子の総額を求めることができます。

\begin{align}
\sum_{k=1}^N w_k &= \sum_{k=1}^N \left\{ α(X-\frac{Y}{α})(1+α)^{k-1}+Y \right\}\\[8pt]
&= α(X-\frac{Y}{α})\sum_{k=1}^N (1+α)^{k-1} + NY\tag{11}
\end{align}

ここで、$\sum\limits_{k=1}^N (1+α)^{k-1}$ は、初項 $1$、公比 $(1+α)$ の等比数列の$1$から$N$までの和であるので、

\begin{align}
\sum_{k=1}^N (1+α)^{k-1} = \frac{1-(1+α)^N}{1-(1+α)}\tag{12}
\end{align}

$(11)$、$(12)$ より、

\begin{align}
\sum_{k=1}^N w_k &= α(X-\frac{Y}{α})\frac{1-(1+α)^N}{1-(1+α)} + NY\\[8pt]
&= (X-\frac{Y}{α})\left\{ (1+α)^N – 1 \right\} + NY
\end{align}

\begin{align}
\sum_{k=1}^N w_k &= (X-\frac{Y}{α})\left\{ (1+α)^N – 1 \right\} + NY
\end{align}

ローン完済までに支払う利子の総額を求めることができました。

毎月の支払い額を計算する

支払い回数 $N$ が決まれば、毎月の支払い額 $Y$ を計算することができます。
毎月の支払い時の残金($n$ 回目の支払い時の残金)は次のようになりました。

\begin{align}
x_n = (X-\frac{Y}{α})(1+α)^{n-1}+\frac{Y}{α}\\
\end{align}

$N$ 回目で完済する場合、$N + 1$ 回目の残金は $0$ になります。

\begin{align}
x_{N+1} = (X-\frac{Y}{α})(1+α)^{N+1-1}+\frac{Y}{α} = 0\\
\end{align}

これを $Y$ について解くと

\begin{align}
(X-\frac{Y}{α})(1+α)^N+\frac{Y}{α} &= 0\\[8pt]
X-\frac{Y}{α} + \frac{Y}{α(1+α)^N} &= 0\\[8pt]
Y\left\{ \frac{1}{α} – \frac{1}{α(1+α)^N} \right\} &= X\\[8pt]
Y\frac{(1+α)^N – 1}{α(1+α)^N} &= X\\[8pt]
Y &= X\frac{α(1+α)^N}{(1+α)^N – 1}
\end{align}

\begin{align}
Y = \frac{αX(1+α)^N}{(1+α)^N – 1}
\end{align}

毎月の支払い額を求めることができました。

おわりに

元利均等返済についていろいろ計算をしてみました。
何か誤っている点等あればご指摘いただけると幸いです。

次は「元金均等返済」について計算してみます。

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